TRIUNGHIUL. DEFINITII. CLASIFICARE. UNGHI EXTERIOR UNUI TRIUNGHI
Ce este TRIUNGHIUL?
Triunghiul este poligonul cu 3 laturi.
In figura de mai sus, avem triunghiul ABC, care are urmatoarele elemente:
a) laturile triunghiului: segmentele [AB], [BC], [CA]
b) unghiurile triunghiului: <ABC (sau <B), <BAC (sau <A), <ACB (sau <C)
c) varfurile triunghiului: adica punctele A, B si C
De asemenea, in figura de mai sus, am notat latura AB = c, AC = b, BC = a
Latura AB este alaturata unghiurilor <ABC si <BAC; acestea au o latura a lor = AB
Latura AB este opusa unghiului <ACB.
Perimetrul triunghiului ABC este : P = BC + AC + AB = a + b + c
Semiperimetrul triunghiului ABC este : p = (a + b + c) / 2
Cum se clasifica TRIUNGHIURILE?
Triunghiul se clasifica in functie de:
- dimensiunile laturilor
- marimea unghiurilor.
- dimensiunile laturilor
- marimea unghiurilor.
CLASIFICARE DUPA DIMENSIUNILE LATURILOR
- echilateral - toate laturile sunt egale
- isoscel - 2 laturi sunt egale
- oarecare (sau scalen) - fiecare latura are alta dimensiune
CLASIFICARE DUPA DIMENSIUNILE UNGHIURILOR
- ascutitunghic - triunghiul cu toate unghiurile ascutite (adica mai mici de 90°)
- dreptunghic - triunghiul care are un unghi de 90°
- obtuzunghic - triunghiul care are un unghi mai mare de 90° (unghi obtuz)
Suma masurilor unghiurilor unui triunghi este de 180º.
UNGHI EXTERIOR UNUI TRIUNGHI
In figura de mai sus, unghiul <ACD este unghi exterior triunghiului ABC. El este adiacent si suplementar cu un unghi al triunghiului, in cazul de fata cu unghiul <ACB.
Orice triunghi are 6 unghiuri exterioare.
Unghi suplementar cu alt unghi = unghiul care impreuna cu alt unghi formeaza 180º si care au o latura pe aceeasi dreapta.
Exemplu: unghiul <ACB + <ACD = 180º, iar punctele B, C si D sunt coliniare (adica se afla pe aceeasi dreapta).
EXERCITII REZOLVATE:
1). Aflati perimetrul unui triunghi care are lungimile laturilor:
a) 3cm, 10 cm, 7 cm
b) 3cm; 0.7dm; 40mm
Rezolvare:
a) Perimetrul triunghiului = suma tuturor laturilor
P = 3 cm + 10 cm + 7 cm = 20 cm
b) Observam ca avem unitati de masura diferite. Prin urmare, trebuie sa transformam unitatile de masura astfel incat atunci cand vom aduna numerele sa avem doar aceeasi unitate de masura.
Prin urmare, daca facem transformarile in cm, vom avea:
3 cm = 3 cm
0.7 dm = 7 cm
40 mm = 4 cm
P = 3 + 7 + 4 = 14 cm
2) Perimetrul unui triunghi echilateral este de 120cm. Aflati lungimea laturilor.
Rezolvare:
Triunghiul echilateral are toate laturile egale.
Perimetrul = suma laturilor unui triunghi = a + b + c = 120 cm.
a = b = c, deci putem scrie: a + a + a = 120 cm => 3 a = 120 cm
=> a = 120 : 3 => a = 40 cm
3) Perimetrul unui triunghi isoscel este de 30 cm, iar lungimea unei laturi este de 8 cm. Care sunt lungimile laturilor triunghiului?
Rezolvare:
Triunghiul isoscel este triunghiul cu doua laturi egale. Prin urmare, daca nu se mentioneaza ca latura de 8 cm este una din cele 2 laturi egale, avem 2 cazuri.
Cazul 1: Triunghiul isoscel are 2 laturi egale, cu lungimea de 8 cm fiecare.
Perimetrul P = 8 + 8 + x = 30 cm => 16 + x = 30 => x = 30 - 16 => x = 14.
Laturile triunghiului isoscel mentionat sunt: a = 8 cm, b = 8 cm, c = 14 cm
Cazul 2. Triunghiul isoscel are 2 laturi egale, si una diferita, cu lungimea de 8 cm.
P = x + x + 8 = 30 => 2x + 8 = 30 => 2x = 30 -8 => 2x = 22 => x = 11
Laturile triunghiului isoscel mentionat sunt: a = 11, b = 11, c = 8
4) Se considera triunghiul ABC si un punct D astfel incat D ∈ (BC). Perimetrul triunghiului ABD este 27 cm. Perimetrul triunghiului ACD este 23cm. AD=10cm. Aflati perimetrul triunghiului ABC.
Rezolvare:
5) Aflati perimetrul unui triunghi stiind ca intre lungimile laturilor sale a, b si c au loc relatiile: 6a = 4b = 3c si c-b = 2 cm.
Rezolvare:
Perimetrul = suma laturilor, deci P = a + b + c
Stim ca c - b = 2, deci c = b+2
De asemenea, stim ca 4b = 3c, deci daca inlocuim valoarea lui c de mai sus, in ecuatia 4b = 3c, obtinem 4b = 3 (b+2) => 4b = 3b + 6 => 4b - 3b = 6 => b = 6
Inlocuim acum valoarea lui b in ecuatia c = b + 2 si obtinem c = 6 + 2 => c = 8
Observam ca cele doua valori obtinute pentru c si b verifica ecuatia data initial:
c - b = 2, adica 8 - 6 = 2, deci valorile aflate pentru c si b sunt corecte.
c - b = 2, adica 8 - 6 = 2, deci valorile aflate pentru c si b sunt corecte.
Trebuie sa aflam acum valoarea lui a. Pentru aceasta vom reveni la prima egalitate data in enunt, si anume 6a = 4b. Inlocuim in aceasta valoarea lui b si obtinem 6a = 4 x 6 => 6a = 24 => a = 24 : 6 =>
a = 4
In acest moment avem toate valorile laturilor si putem calcula perimetrul, care am spus ca este suma laturilor:
P = a + b + c => P = 4 + 6 + 8 => P = 18 cm